בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 4 – המנוף והחלון: טריגונומטריה במשולש ישר זווית3 יחידות 371 · שיעור 50
📄 נוסח השאלה
סמדר עברה לגור בדירה הנמצאת בקומה האחרונה בבניין. היא הזמינה הובלה במנוף כדי להעלות רהיטים לדירה ולהכניס אותם דרך החלון. חלון הדירה של סמדר נמצא בנקודה A.
המנופאי יוסי מיקם את המנוף על הכביש BC, בנקודה B, וכיוון את זרוע המנוף בזווית של 68 מעלות (∢ABC), כמתואר בסרטוט.
נתון: AC מאונך ל־BC, AC = 12 מטרים.
א. מצאו את האורך של BC.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו את האורך של זרוע המנוף בזווית זו (AB).
לאחר זמן מסוים המנוף הפריע לתנועה. יוסי הזיז את המנוף לנקודה D, הנמצאת על המשך הכביש BC, וכיוון אותו בהתאם, כמתואר בסרטוט. נתון כי אורך הקטע BD הוא 2 מטרים.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית החדשה של כיוון זרוע המנוף (∢ADC).
📄 נוסח השאלה · המשך
(2) מצאו בכמה מטרים גדול האורך של זרוע המנוף לאחר ההזזה (AD) מן האורך של זרוע המנוף לפני ההזזה (AB).
סעיף א – אורך BC
המשולש ABC ישר זווית ב־C. מול הזווית B (68 מעלות) נמצא AC = 12, ולידה – BC. שני ניצבים ← tan:
tan68 = ACBC
📐 במשולש ישר זווית
נציב AC = 12:
tan68 = 12BC
BC = 12tan68
BC = 122.4751 ≈ 4.848
📐 במשולש ישר זווית
tan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית
סעיף א – אורך BC · המשך
BC = 122.4751 ≈ 4.848
✅ פתרון סופי: BC ≈ 4.848 מטרים
סעיף ב – אורך הזרוע AB
AB הוא היתר, ו־AC הניצב שמול הזווית B ← sin:
sin68 = ACAB
📐 במשולש ישר זווית
נציב AC = 12:
sin68 = 12AB
AB = 12sin68
AB = 120.9272 ≈ 12.942
📐 במשולש ישר זווית
sin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
סעיף ב – אורך הזרוע AB · המשך
AB = 120.9272 ≈ 12.942
✅ פתרון סופי: AB ≈ 12.942 מטרים
סעיף ג (1) – הזווית החדשה ADC
D על המשך CB, במרחק 2 מטרים מ־B:
DC = BC + BD
נציב BC = 4.848 , BD = 2:
DC = 4.848 + 2 = 6.848
במשולש ADC (ישר זווית ב־C) ידועים שני הניצבים:
tan(∢ADC) = ACDC
📐 במשולש ישר זווית
📐 במשולש ישר זווית
tan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית
סעיף ג (1) – הזווית החדשה ADC · המשך
tan(∢ADC) = ACDC
📐 במשולש ישר זווית
נציב AC = 12 , DC = 6.848:
tan(∢ADC) = 126.848
tan(∢ADC) ≈ 1.7523
נמצא את הזווית במחשבון (tan−1):
∢ADC ≈ 60.29
📐 במשולש ישר זווית
tan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית
סעיף ג (1) – הזווית החדשה ADC · המשך
∢ADC ≈ 60.29
✅ פתרון סופי: ∢ADC ≈ 60.29 מעלות
סעיף ג (2) – בכמה גדלה הזרוע
נמצא את AD – היתר במשולש ADC:
AD2 = AC2 + DC2
📐 משפט פיתגורס
נציב AC = 12 , DC = 6.848:
AD2 = 122 + 6.8482
AD2 = 144 + 46.895
AD2 = 190.895
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
c – היתר, a , b – הניצבים
c – היתר, a , b – הניצבים
סעיף ג (2) – בכמה גדלה הזרוע · המשך
AD2 = 190.895
AD = √190.895 ≈ 13.817
ההפרש בין הזרועות:
AD − AB = 13.817 − 12.942
AD − AB ≈ 0.874
(חישבנו בלי עיגול ביניים; עם המספרים המעוגלים יוצא 0.875 – כמעט אותו דבר.)
סעיף ג (2) – בכמה גדלה הזרוע · המשך
(חישבנו בלי עיגול ביניים; עם המספרים המעוגלים יוצא 0.875 – כמעט אותו דבר.)
✅ פתרון סופי: גדול בכ־0.874 מטרים
📌 סיכום התשובות
סעיף א
BC ≈ 4.848 מטרים
סעיף ב
AB ≈ 12.942 מטרים
ג (1)
∢ADC ≈ 60.29 מעלות
ג (2)
כ־0.874 מטרים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא